已知抛物线y2=4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P，Q．证明：存在唯一一点K，使得1|PK|2+1|KQ|2为常数，并确定K点的坐标．-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线y2=4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P，Q．证明：存..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-23 07:30:00

试题原文

已知抛物线y²=4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P，Q．证明：存在唯一一点K，使得

1

|PK|2

+

1

|KQ|2

为常数，并确定K点的坐标．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：设K（a，0），过K点直线方程为y=k（x-a），交抛物线于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），联立方程组

y2=4x

y=k(x-a)

，
∴k²x²-2（ak²+2）x+a²k²=0，
∴x1+x2=

2(ak2+2)

k2

，x1x2=a2…（5分）
∴|PK2|=(x1-a)2+

y

21

，|KQ2|=(x2-a)2+

y

22

…（7分）
∴

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1+

a

2

k2

a2(1+k2)

，…（12分）
令a=2，可得

1

|PK2|

+

1

|KQ2|

=

1

4

，K(2，0)．…（17分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线y2=4x，过x轴上一点K的直线与抛物线交于点P，Q．证明：存..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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