已知函数f（x）=log3（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），（1）求函数f（x）的解析式；（2）记an=3f（n）（n∈N*），是否存在正数k，使得(1+1a1)(1+1a2)…(1+1an)≥k2n+1对一切n∈N*均成立，若-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=log3（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），（1）求函数..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-15 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=log₃（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记a_n=3^f（n）（n∈N^*），是否存在正数k，使得(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立，若存在，求出k的最大值；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的解析式及定义（定义域、值域）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得

log3(2a+b)=1

log3(5a+b)=2

，解得 a=2，b=-1，所以f（x）=log3（2x-1），
（2）因为an=3log3(2n-1)=2n-1．
假设存在正数k，使得(1+

1

a1

)(1+

1

a2

)…(1+

1

an

)≥k

2n+1

对一切n∈N^*均成立，
则k≤

1

2n+1

（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）恒成立．
记F（n）=

1

2n+1

（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）．
则F（n+1）=

1

2n+3

（1+

1

a1

）（1+

1

a2

）…（1+

1

an

）（1+

1

an+1

）．
∵

F(n+1)

F(n)

=

2n+2

(2n+1)(2n+3)

=

2(n+1)

4(n+1) 2-1

＞

2(n+1)

=1．
∴．F（n+1）＞F（n），所以F（n）是递增数列．
所以n1=时F（n）最小，最小值F（1）=

2

3

．
所以k≤

2

3

．即k的最大值为

2

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=log3（ax-b）的图象过点A（2，1），B（5，2），（1）求函数..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的解析式及定义（定义域、值域）”。

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