已知函数f(x)=loga(x2+1+bx)（a＞0且a≠1），给出如下判断：①函数f（x）为R上的偶函数的充要条件是b=0；②若a=12，b=-1，则函数f（x）为R上的减函数；③当a＞1时，函数为R上的增函数；④若-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=loga(x2+1+bx)（a＞0且a≠1），给出如下判断..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-13 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=loga(

x2+1

+bx)（a＞0且a≠1），给出如下判断：
①函数f（x）为R上的偶函数的充要条件是b=0；
②若a=

1

2

，b=-1，则函数f（x）为R上的减函数；
③当a＞1时，函数为R上的增函数；
④若函数f（x）为R上的奇函数，且为R上的增函数，则必有0＜a＜1，b=-1或a＞1，b=1．
其中所有正确判断的序号是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：对数函数的图象与性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

①由函数f（x）为R上的偶函数可得f（-x）=f（x）对若任意的x都成立
∴loga(

1+(-x)2

-bx)=loga(

1+x2

+bx)即

1+x2

-bx=

1+x2

+bx对任意的x都成立
∴bx=0对任意的x都成立，则b=0，故①正确
②当a=

1

2

，b=-1时，f（x）=log

1

2

(

1+x2

-x)，则f（-x）=log

1

2

(

1+x2

+x)=log

1

2

1

1-x2

-x

=-f（x），则函数f（x）为奇函数，由于g（x）=

1+x2

-x=

1

1+x2

+x

在（0，+∞）单调递减，y=log

1

2

g(x)在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，函数f（x）在（0，+∞）上单调递增，由奇函数的性质可知，函数f（x）在R上单调递增，故②错误
③当a＞1时，函数y=log_at单调递增，而t=

1+x2

+bx单调性不确定，故③错误
④若函数f（x）为R上的奇函数，则f（-x）=-f（x）对任意的x都成立，
则loga (

1+x2

-bx)=-loga(

1+x2

+bx)
∴

1+x2

-bx=

1

1+x2

+bx

∴（1-b²）x²=0对任意的x都成立
∴b=1或b=-1
∵函数f（x）为R上的增函数
当b=-1时，

1+x2

-x在R上单调递减，由复合函数的单调性可知，0＜a＜1
当b=1时，

1+x2

+x在R上单调递增，由复合函数的单调性可知，a＞1
故④正确
故答案为：①④

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=loga(x2+1+bx)（a＞0且a≠1），给出如下判断..”的主要目的是检查您对于考点“高中对数函数的图象与性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中对数函数的图象与性质”。

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