如图所示，抛物线y=1-x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位-数学试题及答案

1、试题题目：如图所示，抛物线y=1-x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-11 07:30:00

试题原文

如图所示，抛物线y=1-x²与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，现计划在该区域内围出一块矩形地块ABCD作为工业用地，其中A、B在抛物线上，C、D在x轴上．已知工业用地每单位面积价值为3a元（a＞0），其它的三个边角地块每单位面积价值a元，问如何规划才能使得整块土地总价值最大．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：定积分的简单应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由

∫

1-1

(1-x2)dx=(x-

1

3

x3)

.

1

-1

=

4

3

，知整个地块的面积为

4

3

…（2分）
设点C的坐标为（x，0），则点B（x，1-x²）其中0＜x＜1，
∴S_ABCD=2x（1-x²）…（4分）
∴土地总价值y=3a?2x(1-x2)+a[

4

3

-2x(1-x2)]
=4a?x(1-x2)+

4

3

a…（6分）
由y'=4a（1-3x²）=0得x=

3

或者x=-

3

(舍去)…（8分）
并且当0＜x＜

3

时，y′＞0，当

3

＜x＜1时，y′＜0
故当x=

3

时，y取得最大值． …（11分）
答：当点C的坐标为(

3

，0)时，整个地块的总价值最大． …（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图所示，抛物线y=1-x2与x轴所围成的区域是一块等待开垦的土地，..”的主要目的是检查您对于考点“高中定积分的简单应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中定积分的简单应用”。

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