发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-16 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)当a=1时,f(x)=-x3+x2+b, 因为f(-1)=b+2>b, 所以,函数f(x)的图象不能总在直线y=b的下方. (Ⅱ)法一、 由f(x)=-x3+ax2+b,得f′(x)=-3x2+2ax, 令f′(x)=-3x2+2ax=0,解得x=0或x=
①当a<0时,由f′(x)>0,解得
所以f(x)在(
②当a=0时,由f′(x)=-3x2≤0, 所以f(x)在R上是减函数,与题意不符,舍去; ③当a>0时,由f′(x)>0,解得0<x<
所以f(x)在(0,
又f(x)在(0,2)上是增函数,所以
综上,a的取值范围为[3,+∞). 法二、 由f(x)=-x3+ax2+b,得f′(x)=-3x2+2ax, 要使函数f(x)在(0,2)上是增函数, 则需f′(x)=-3x2+2ax≥0对任意x∈(0,2)恒成立, 即2ax≥3x2对任意x∈(0,2)恒成立, 也就是a≥
因为y=
所以,a的取值范围为[3,+∞). (Ⅲ)证明:因为方程f(x)=-x3+ax2+b=0最多只有3个根, 由题意,方程在区间(-1,0)内仅有一根, 所以f(-1)?f(0)=b(1+a+b)<0, 方程在区间(0,1)内仅有一根, 所以f(0)?f(1)=b(-1+a+b)<0, 当b>0时,由b(1+a+b)<0得,1+a+b<0,即a<-b-1, 由b(-1+a+b)<0得,-1+a+b<0,即a<-b+1, 因为-b-1<-b+1,所以a<-b-1<-1,即a<-1; 当b<0时,由b(1+a+b)<0得,1+a+b<0,即a>-b-1, 由b(-1+a+b)<0得,-1+a+b<0,即a>-b+1, 因为-b-1<-b+1,所以a>-b+1>1,即a>1; 当b=0时,因为f(0)=0,所以f(x)=0有一根0, 这与题意不符. ∴a>1或a<-1. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知函数f(x)=-x3+ax2+b(a,b∈R).(Ⅰ)若a=1,函数f(x)的图象能否总..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的零点与方程根的联系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的零点与方程根的联系”。