设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（I）求a、b的值，并写出切线l的方程；（II）若方程f（x）+g（x）-数学试题及答案

1、试题题目：设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-07 07:30:00

试题原文

设函数f（x）=x³+2ax²+bx+a，g（x）=x²-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
（I）求a、b的值，并写出切线l的方程；
（II）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x₁、x₂，其中x₁＜x₂，且对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，求实数m的取值范围．

试题来源：湖北试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I） f'（x）=3x²+4ax+b，g'（x）=2x-3．
由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．
故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．
由此得

8+8a+2b+a=0

12+8a+b=1

，解得

a=-2

b=5

，
所以a=-2，b=5..切线的方程为x-y-2=0．
（II）由（I）得f（x）=x³-4x²+5x-2，所以f（x）+g（x）=x³-3x²+2x．
依题意，方程x（x²-3x+2-m）=0，有三个互不相等的实根0，x₁，x₂，
故x₁，x₂是x²-3x+2-m=0的两相异实根．
所以△=9-4（2-m）＞0，解得m＞-

1

4

．
又对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
特别地取x=x₁时，f（x₁）+g（x₁）＜m（x₁-1）成立，得m＜0．
由韦达定理得x₁+x₂=3＞0，x₁x₂=2-m＞0．故0＜x₁＜x₂．
对任意的x∈[x₁，x₂]，x-x₂≤0，x-x₁≥0，x＞0．
则f（x）+g（x）-mx=x（x-x₁）（x-x₂）≤0，又f（x₁）+g（x₁）-mx₁=0．
所以f（x）+g（x）-mx在x∈[x₁，x₂]上的最大值为0．
于是当m＜0，对任意的x∈[x₁，x₂]，f（x）+g（x）＜m（x-1）恒成立，
综上得：实数m的取值范围是（-

1

4

，0）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2-3x+2，其中x∈R，a、b为常数，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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