函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x3-3ax（a为常数）．（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的解析式；（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x3-3a..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x³-3ax（a为常数）．
（1）当x∈[0，1]时，求f（x）的解析式；
（2）求f（x）在[0，1]上的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设x∈[0，1]，则-x∈[-1，0]，所以f（-x）=-x³+3ax，
又因为f（x）是偶函数，所以f（-x）=f（x），
故f（x）=-x³+3ax，x∈[0，1]；
（2）x∈[0，1]时，f（x）=-x³+3ax，f′（x）=-3x²+3a=-3（x²-a），
ⅰ）当a≤0 时，f′（x）≤0恒成立，f（x）在[0，1]上单调递减．
f_max（x）=f（0）=0；
ⅱ）当 a＞0时，由f′（x）=0得x=

a

，
①当a≥1 时，f′（x）≥0恒成立，f（x）在[0，1]上单调递增．
f_max（x）=f（1）=-1+3a；
②当0＜a＜1时，f′（x）=-3（x+

a

）（x-

a

），
当0≤x＜

a

时，f′（x）＞0，f（x）在递增，当

a

＜x≤1时，f′（x）递减，
所以f_max（x）=f（

a

）=2a

a

．
综上所述：当a≤0时，f_max（x）=0；当a≥1时，f_max（x）=-1+3a；当0＜a＜1 时，f_max（x）=2a

a

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“函数f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，当x∈[-1，0]时，f（x）=x3-3a..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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