发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-06 07:30:00
试题原文 |
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解法一: 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, (i)当a≤1时,对所有x>0,g′(x)>0,所以g(x)在[0,+∞)上是增函数, 又g(0)=0,所以对x≥0,都有g(x)≥g(0), 即当a≤1时,对于所有x≥0,都有f(x)≥ax. (ii)当a>1时,对于0<x<ea-1-1,g′(x)<0,所以g(x)在(0,ea-1-1)是减函数, 又g(0)=0,所以对0<x<ea-1-1,都有g(x)<g(0), 即当a>1时,不是对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立. 综上,a的取值范围是(-∞,1]. 解法二: 令g(x)=(x+1)ln(x+1)-ax, 于是不等式f(x)≥ax成立即为g(x)≥g(0)成立. 对函数g(x)求导数:g′(x)=ln(x+1)+1-a 令g′(x)=0,解得x=ea-1-1, 当x>ea-1-1时,g′(x)>0,g(x)为增函数, 当-1<x<ea-1-1,g′(x)<0,g(x)为减函数, 所以要对所有x≥0都有g(x)≥g(0)充要条件为ea-1-1≤0. 由此得a≤1,即a的取值范围是(-∞,1]. |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“设函数f(x)=(x+1)ln(x+1).若对所有的x≥0,都有f(x)≥ax成立,求实..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数的奇偶性、周期性”。