已知函数f（x）满足：f(1)=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=_____

1、试题题目：已知函数f（x）满足：f(1)=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足：f(1)=

1

4

，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则f（2010）=______．

试题来源：重庆试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

取x=1，y=0得f(0)=

1

2

法一：根据已知知f(1)=

1

4

取x=1，y=1得f（2）=-（

1

4

）
取x=2，y=1得f（3）=-（

1

2

）
取x=2，y=2得f（4）=-（

1

4

）
取x=3，y=2得f（5）=-（

7

16

）
取x=3，y=3得f（6）=（

1

2

）
猜想得周期为6
法二：取x=1，y=0得f(0)=

1

2

取x=n，y=1，有f（n）=f（n+1）+f（n-1），
同理f（n+1）=f（n+2）+f（n）
联立得f（n+2）=-f（n-1）
所以f（n）=-f（n+3）=f（n+6）
所以函数是周期函数，周期T=6，
故f（2010）=f（0）=

1

2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足：f(1)=14，4f（x）f（y）=f（x+y）+f（x-y）（x，y∈R），则..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：