已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f‘（x）是奇函数．（1）求f（x）的表达式；（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f‘（x）是奇..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-06 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³+x²+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f'（x）是奇函数．
（1）求f（x）的表达式；
（2）讨论g（x）的单调性，并求g（x）在区间[1，2]上的最大值和最小值．

试题来源：重庆试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由题意得f'（x）=3ax²+2x+b
因此g（x）=f（x）+f'（x）=ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b
因为函数g（x）是奇函数，所以g（-x）=-g（x），
即对任意实数x，有a（-x）³+（3a+1）（-x）²+（b+2）（-x）+b=-[ax³+（3a+1）x²+（b+2）x+b]
从而3a+1=0，b=0，
解得a=-

1

3

，b=0，因此f（x）的解析表达式为f(x)=-

1

3

x3+x2．
（2）由（Ⅰ）知g(x)=-

1

3

x3+2x，
所以g'（x）=-x²+2，令g'（x）=0
解得x1=-

2

，x2=

2

则当x＜-

2

或x＞

2

时，g'（x）＜0
从而g（x）在区间(-∞，-

2

]，[

2

，+∞)上是减函数，
当-

2

＜x＜

2

时，g′(x)＞0，
从而g（x）在区间[-

2

，

2

]上是增函数，
由前面讨论知，g（x）在区间[1，2]上的最大值与最小值只能在x=1，

2

，2时取得，
而g(1)=

5

3

，g(

2

)=

4

2

3

，g(2)=

4

3

，
因此g（x）在区间[1，2]上的最大值为g(

2

)=

4

2

3

，最小值为g(2)=

4

3

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3+x2+bx（其中常数a，b∈R），g（x）=f（x）+f‘（x）是奇..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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