已知函数f（x）满足f（logax）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m2）＜0，求实数m的集合；（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x﹣4）的值恒为负数，求a的取值范围-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）满足f（logax）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1（1..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-02 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）满足f（log_ax）=

（x﹣x^﹣1），其中a＞0，a≠1
（1）对于函数f（x），当x∈（﹣1，1）时，f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0，求实数m的集合；
（2）当x∈（﹣∞，2）时，f（x﹣4）的值恒为负数，求a的取值范围

试题来源：期末题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）根据题意，令log_ax=t，则x=a^t，
所以

，即

当a＞1时，因为a^x﹣a^﹣x为增函数，且

＞0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
当0＜a＜1时，因为a^x﹣a^﹣x为减函数，且

＜0，所以f（x）在（﹣1，1）上为增函数；
综上所述，f（x）在（﹣1，1）上为增函数．
又因为f（﹣x）=

=﹣f（x），故f（x）为奇函数．
所以f（1﹣m）+f（1﹣m²）＜0

f（1﹣m）＜﹣f（1﹣m²）

f（1﹣m）＜f（m²﹣1）
由f（x）在（﹣1，1）上为增函数，可得

解得1＜m＜

，即m的值的集合为{m|1＜m＜

}
（2）由（1）可知，f（x）为增函数，则要使x∈（﹣∞，2），f（x）﹣4的值恒为负数，
只要f（2）﹣4≤0即可，即f（2）=

=

＜4，
又a＞0解得

又a≠1，可得符合条件的a的取值范围是（2﹣

，1）∪（1，2+

）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）满足f（logax）=（x﹣x﹣1），其中a＞0，a≠1（1..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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