已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+2x+b(x≠-b)的图象经过点（1，3）．（1）求函数f（x）的解析式；（2）判断函数f（x）在（-1，0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．-数学试题及答案

1、试题题目：已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+2x+b(x≠-b)的图象经过点（1，3）．（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+

2

x+b

(x≠-b)的图象经过点（1，3）．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）判断函数f（x）在（-1，0]上的单调性，并用单调性定义证明你的结论．

试题来源：黄浦区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由函数f(x)=ax+

2

x+b

(x≠-b)的图象过点(1，3)，知3=a+

2

1+b

，(3-a)(b+1)=2．…（2分）
又a、b均为正整数，
故3-a＞0，b+1≥2．于是，必有

3-a=1

b+1=2

，即

a=2

b=1

．…（7分）
所以f(x)=2x+

2

x+1

（x≠-1）．…（8分）
（2）结论：f(x)=2x+

2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是减函数．…（9分）
证明设x₁、x₂是（-1，0]内的任意两个不相等的实数，且x₁＜x₂．…（10分）
则f(x1)-f(x2)=2x1+

2

x1+1

-(2x2+

2

x2+1

)…（11分）
=2(x1-x2)+

2(x2-x1)

(x1+1)(x2+1)

=2(x1-x2)?

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

．…（13分）
又-1＜x₁≤0，-1＜x₂≤0，x₁＜x₂，故x₁-x₂＜0，1+x₂＞0，x₂+x₁（1+x₂）＜0．（14分）
于是，2(x1-x2)?

x2+x1(1+x2)

(x1+1)(x2+1)

＞0，即f（x₁）-f（x₂）＞0，f（x₁）＞f（x₂）．…（16分）
所以，函数f(x)=2x+

2

x+1

(x≠-1)在(-1，0]上是减函数．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知a、b是正整数，函数f(x)=ax+2x+b(x≠-b)的图象经过点（1，3）．（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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