关于x，y的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整数解为_____

1、试题题目：关于x，y的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整数解为______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-11-15 07:30:00

试题原文

关于x，y的方程x²+y²=208（x-y）的所有正整数解为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：初中考察重点：三元（及三元以上）一次方程（组）的解法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

方法1：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
这是一个以（104，-104）为圆心，104

2

为半径的圆，可用参数方程表示为：

x-104

104

2

=sinθ，

y+104

104

2

=cosθ
x=104

2

sinθ+104=104（

2

sinθ+1），y=104

2

cosθ-104=104（

2

cosθ-1）
x、y都是正整数，那么104（sinθ+1）和104（cosθ-1）同时为正整数
sinθ＞-

2

，cosθ＞

2

，且sinθ和cosθ值的分母是104的约数，分子是

2

的整数倍
（1）分母为2：（

2

A）²+（

2

B）²=1
A²+B²=2
A=±1，B=±1，（舍去）
（2）分母为4：（

2

4

A）²+（

2

4

B）²=1
A²+B²=8
A=±2，B=±2，（舍去）
（3）分母为8：（

2

8

A）²+（

2

8

B）²=1
A²+B²=32
A=±4，B=±4，（舍去）
（4）分母为13：（

2

13

A）²+（

2

13

B）²=1
A²+B²=

169

2

，（舍去）
（5）分母为26：（

2

26

A）²+（

2

26

B）²=1
A²+B²=338
A=±7，B=±17，或者A=±17，B=±7，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合
（6）分母为52：（

2

52

A）²+（

2

52

B）²=1
A²+B²=1352
A=±14，B=±34，或者A=±26，B=±26，（舍去）
或者A=±34，B=±14，（舍去）
所以x=160，y=32或者x=48，y=32符合．
方法2：x²+y²=208（x-y）
x²-208x+104²+y²+208y+104²=2×104²
（x-104）²+（y+104）²=2×104²
∵2×104²是偶数，（x-104），（y+104）有相同的奇偶性
∴x，y具有相同的奇偶性
∵x²+y²=208（x-y）
∴x，y均为偶数
令x=2a，y=2b，则（a-52）²+（b+52）²=2×52²，a²+b²=104（a-b）
同理，令a=2c，b=2d，则（c-26）²+（d+26）²=2×26²，c²+d²=52（c-d）
令c=2s，d=2t，则（s-13）²+（t+13）²=2×13²，（s，t为正整数）
可得正整数解只有（s-13）²=7²，（t+13）²=17²
即s=20或6，t=4
故x=8s=160或48，y=8t=32

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“关于x，y的方程x2+y2=208（x-y）的所有正整数解为______．”的主要目的是检查您对于考点“初中三元（及三元以上）一次方程（组）的解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中三元（及三元以上）一次方程（组）的解法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：