对于正整数a和b，方程xa+b+y=xayb的所有正整数解是_____

1、试题题目：对于正整数a和b，方程xa+b+y=xayb的所有正整数解是______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2014-11-8 7:30:00

试题原文

对于正整数a和b，方程x^a+b+y=x^ay^b的所有正整数解是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：初中考察重点：一元二次方程的解法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

方程变形为y=x^a（y^b-x^b），
∵x，y，a，b都是正整数，
∴x^a是y的约数，设y=x^au，
∴x^au=x^a（y^b-x^b），
∴u=x^abu^b-x^b=x^b（x^ab-bu^b-1），
∴x^b是u的约数，设u=x^bv，则有v=xab-b?xb2ub-1，v=xab-b+b2vb-1，
∴1=v（xab-b+b2v^b-1-1）
∴v是1的约数，必有v=1，所以xab-b+b2=2．
而x，y，a，b都是正整数，
∴x=2，ab-b+b²=1，即b（a-1+b）=1，
∴b=1，a-1+b=1，
∴a=1，
∴把a=1，b=1，x=2代入原方程解得y=4．
所以原方程仅当a=b=1时，有一组正整数解x=2，y=4．
故答案为：x=2，y=4．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于正整数a和b，方程xa+b+y=xayb的所有正整数解是______．”的主要目的是检查您对于考点“初中一元二次方程的解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中一元二次方程的解法”。

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