解：（1）△A'B'O是由△ABO绕原点O
逆时针旋转90°得到的，
又A（0，1），B（2，0），O（0，0），
∴A'（﹣1，0），B'（0，2）．
设抛物线的解析式为：y=ax²+bx+c(a≠0)，
∵抛物线经过点A'、B'、B，
∴，
解之得，
∴满足条件的抛物线的解析式为y=﹣x²+x+2；
（2）∵P为第一象限内抛物线上的一动点，
设P（x，y），则x＞0，y＞0，P点坐标满足y=﹣x²+x+2．
连接PB，PO，PB'，
∴S_{四边形PB'A'B}=S_△B'OA'+S_△PB'O+S_△POB

=x+(﹣x²+x+2)+1
=﹣x²+2x+3，
假设四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积的4倍，
则﹣x²+2x+3=4，
即x²﹣2x+1=0，解之得x=1，
此时y=﹣1²+1+2=2，即P(1，2)，
∴存在点P（1，2），
使四边形PB'A'B的面积是△A'B'O面积的4倍；
（3）四边形PB'A'B为等腰梯形；
答案不唯一，下面性质中的任意2个均可．
①等腰梯形同一底上的两个内角相等；
②等腰梯形对角线相等；
③等腰梯形上底与下底平行；
④等腰梯形两腰相等．
或用符号表示：
①∠B'A'B=∠PBA'或∠A'B'P=∠BPB'；
②PA'=B'B；
③B'P∥A'B；
④B'A'=PB．