如图，在□OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，0C=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm／s的速度沿线段OA→AB运动；动点Q同时从点O出发，以acm／s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先-数学试题及答案

1、试题题目：如图，在□OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，0C=4cm，OA=8cm，动点P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-13 07:30:00

试题原文

如图，在□OABC 中，点A 在x 轴上，∠AOC=60°，0C=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm ／s 的速度沿线段OA→AB 运动；动点Q同时从点O出发，以acm ／s 的速度沿线段OC →CB 运动，其中一点先到达终点B 时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t 秒。
(1) 填空：点C 的坐标是(______ ，______) ，对角线OB 的长度是_______cm ；
(2) 当a=1 时，设△OPQ 的面积为S ，求S 与t 的函数关系式，并直接写出当t 为何值时，S 的值最大?
(3) 当点P 在OA 边上，点Q 在CB 边上时，线段PQ 与对角线OB 交于点M. 若以O 、M 、P为顶点的三角形与△OAB 相似，求a 与t 的函数关系式，并直接写出t 的取值范围．

试题来源：福建省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：(1)C(2 ，2

)，OB=4

cm．

(2)①当0<t≤4时，
过点Q作QD⊥x轴于点D(如图1)，则QD=

t．
∴S=

OP·QD=

t². ②当4 ≤t ≤8 时，
作QE ⊥x 轴于点E( 如图2) ，则QE=2

.
∴S =

DP·QE=

t．

③当8 ≤t<12 时，
解法一：延长QP 交x 轴于点F ，过点P 作PH ⊥AF 于点H( 如图3) ．
易证△PBQ 与△PAF 均为等边三角形，
∴OF=OA+AP=t,AP=t-8 ．
∴PH=

(t-8).
∴S=S△OQF-S△OPF
=

t·2

-

t·

(t-8)
=-

t²+3

t．
当t=8时，S最大．

解法二：过点P 作PH ⊥x 轴于点H( 如图3) ．易证△PBQ 为等边三角形．
∵AP=t-8 ．
∴PH=

(t-8)．
∴S=S_OABQ-S_△PBQ- S_△OAP=

(20-t)-

(12-t)²-2

(t-8)．
=-

t²+3

t．
当t=8时，S最大．
(3)①当△OPM∽△OAB时(如图4)，则PQ∥AB．
∴CQ=OP．
∴at-4=t，a=1+

.
t的取值范围是0<t≤8．

图4
②当△OPM ∽△OBA 时( 如图5) ，
则

，
∴

,
∴OM=

．
又∵QB∥OP，
∴△BQM∽△OPM，
∴

,
∴

,
整理得t-at=2，
∴a=1-

.
t的取值范围是6≤t≤8．
综上所述：a=1+

(0<t≤8)或a=1-

(6≤t≤8)．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，在□OABC中，点A在x轴上，∠AOC=60°，0C=4cm，OA=8cm，动点P..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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