如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），证明：（1）2a，2b，c都是整数；（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；（3）反过来，如（2）成立，是否对-数学试题及答案

1、试题题目：如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-03-18 07:30:00

试题原文

如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数（即整数的平方），
证明：（1）2a，2b，c都是整数；
（2）a，b，c都是整数，并且c是平方数；
（3）反过来，如（2）成立，是否对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：数学常识

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵对一切x的整数值，x的二次三项式ax²+bx+c的值都是平方数，
∴令x=0，a?0²+b?0+c=c，
c是整数且是平方数，
令x=1，-1时a?1²+b?1+c，a?（-1）²+b?（-1）+c是平方数，
∴可设a?1²+b?1+c=m₁²①a?（-1）²+b?（-1）+c=n₁²②c=k₁²（m₁n₁k₁均为整数），
①-②得：2b=m₁²-n₁²，
∴2b为整数（整数相减为依然为整数），
由①得：2a=2m₁²-2b-2c，
∴2a为整数，
∴2a，2b，c都是整数；

（2）（1）中已证c是整数且是平方数，
令x=2，-2时，可设a?2²+b?2+c=m₂²③a?（-2）²+b?（-2）+c=n₂²④c=k₁²（m₂n₂k₁均为整数），
③-④得：4b=m₂²-n₂²=（m₂+n₂）（m₂-n₂）=2（2b），
∵2b为整数，
∴2（2b）为偶数，则m₂²-n₂²为偶数，
∴（m₂+n₂），（m₂-n₂）同奇同偶，
则可设（m₂+n₂）=2m，（m₂-n₂）=2n（m，n均为整数），
∴4b=2m?2n=4mn，
∴b=mn，
∴b为整数；

（3）令x=1，a=1，b=1，c=1，则ax²+bx+c=3，而3不是平方数．
∴不一定成立．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如果对一切x的整数值，x的二次三项式ax2+bx+c的值都是平方数（即整..”的主要目的是检查您对于考点“初中数学常识”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中数学常识”。

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