使得p(p+1)+22是完全平方数的所有质数p为_____

1、试题题目：使得p(p+1)+22是完全平方数的所有质数p为______．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-03-18 07:30:00

试题原文

使得

p(p+1)+2

2

是完全平方数的所有质数p为______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：初中考察重点：数学常识

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

设

p(p+1)+2

2

=a²，
所以p（p+1）=2a²-2=2（a+1）（a-1），
因为p为质数，所以①p=a-1或者②p=a+1或者③p=2，
①当p=a-1时，设a-1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp+1，
所以p（p+1）=2kp（kp+2），
所以p+1=2k（kp+2），
所以（2k²-1）p=1-4k，
因为（2k²-1）＞0，所以（2k²-1）p，
又因为1-4k＜0，
所以（2k²-1）p=1-4k不可能成立．
②当p=a+1时，设a+1=kp，（k为≥1的正整数）所以a=kp-1．
所以p（p+1）=2kp（kp-2），
所以p+1=2k（kp-2），
所以（2k²-1）p=1+4k，
所以2k²-1＜1+4k．
因为当k≥3时，2k²-1≥6k-1=4k+1+2（k-1）＞1+4k
所以k=1或者2，
当k=1时，（2k²-1）p=1+4k≥p=5，
当k=2时，（2k²-1）p=1+4k≥7p=9，所以不存在质数p．
③当p=2时，因为p是质数．
所以p=2，
综上所述，p=2或者p=5，
验算：
当p=2时，

p(p+1)+2

2

=4=2²
当p=5时，

p(p+1)+2

2

=16=4²．
故答案为2或5．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“使得p(p+1)+22是完全平方数的所有质数p为______．”的主要目的是检查您对于考点“初中数学常识”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中数学常识”。

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