如图三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=23．（Ⅰ）求证：AC⊥BD；（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-20 07:30:00

试题原文

如图三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二面角P-AC-B为120°，PC=2，AB=2

3

．
（Ⅰ）求证：AC⊥BD；
（Ⅱ）求BD与底面ABC所成角的正弦值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线与平面所成的角

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）证明：取AC中点E，连DE、BE，
则DE∥PC，PC⊥AC
∴DE⊥AC …（2分）
又△ABC是正三角形可得BE⊥AC
由线面垂直的判定定理知AC⊥平面DEB，又BD?平面BED
∴AC⊥BD …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）中知DE⊥AC，BE⊥AC
∴∠DEB是二面角P-AC-B的平面角，∴∠DEB=120°
又AB=2

3

其中线 BE=

3

2

AB=3DE=

1

2

PC=1
∵AC⊥平面BDE，AC?平面ABC
∴平面ABC⊥平面BDE且交线为BE，…（7分）
过D作平面ABC的垂线DF，垂足F必在直线BE上
又∠DEB=120°，∴设F在BE延长线上，则∠DBE即为BD与底面ABC所成的角 …（9分）
又△DEB中 DB²=DE²+BE²-2BE?DEcos120°=13，∴BD=

13

由正弦定理：

DE

sin∠DBE

=

13

sin120°

，
∴sin∠DBE=

39

26

，即BD与底面ABC所成的角的正弦值为

39

26

…（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图三棱锥P-ABC中，△ABC是正三角形，∠PCA=90°，D为PA的中点，二..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线与平面所成的角”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线与平面所成的角”。

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