在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是_____

1、试题题目：在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是__..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-15 07:30:00

试题原文

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是______．

试题来源：不详试题题型：填空题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

分别以DA、DC、DD₁为x、y、z轴建立如图所示空间直角坐标系
设正方体的棱长等于1，可得
D（0，0，0），B（1，1，0），C₁（0，1，1），A₁（1，0，1），
∴

BC1

=（-1，0，1），

A1D

=（-1，0，-1），

BD

=（-1，-1，0）
设

n

=（x，y，z）是平面A₁BD的一个法向量，
则

n

?

A1D

=-x-z=0

n

?

BD

=-x-y=0

，取x=1，得y=z=-1
∴平面A₁BD的一个法向量为

n

=（1，-1，-1）
设直线BC₁与平面A₁BD所成角为θ，则
sinθ=|cos＜

BC1

，

n

＞|=

BC1

?

n

|BC1|

?

n

=

6

3

∴cosθ=

1-sin2θ

=

3

，即直线BC₁与平面A₁BD所成角的余弦值是

3

故答案为：

3

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线BC1与平面A1BD所成角的余弦值是__..”的主要目的是检查您对于考点“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题”。

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