如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若|AM|=54|AF|，求k的值；（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对-数学试题及答案

1、试题题目：如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-22 07:30:00

试题原文

如图，已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为k的直线l与抛物线C交于A、B两点．
（Ⅰ）F为抛物线C的焦点，若|AM|=

5

4

|AF|，求k的值；
（Ⅱ）是否存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，若存在，求出k的取值范围；若不存在，说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解（Ⅰ）记A点到准线距离为d，直线l的倾斜角为α，由抛物线的定义知|AM|=

5

4

d，
∴cosα=

d

|AM|

=

4

5

，则sinα=

1-cos2α

=

1-(

4

5

)2

=

3

5

，
∴k=±tanα=±

sinα

cosα

=±

3

5

4

5

=±

3

4

．
（Ⅱ）存在k，k的取值范围为[-

5

，0)∪(0，

5

]，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB．
事实上，假设存在这样的k，使得对任意的p，抛物线上C总存在点Q，使得QA⊥QB，
设点Q（x₀，y₀），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立

y2=2px

y=k(x+

p

2

)

，得ky²-2py+p²k=0．
则

k≠0

4p2-4k2p2＞0

，得：-1＜k＜1且k≠0．
y1+y2=

2p

k

，y1y2=p2．
又Q、A、B三点在抛物线上，所以x0=

y02

2p

，x1=

y12

2p

，x2=

y22

2p

则kQA=

y0-y1

x0-x1

=

y0-y1

y02

2p

-

y12

2p

=

2p

y0+y1

．
同理kQB=

2p

y0+y2

．
由QA⊥QB得：

2p

y0+y1

?

2p

y0+y2

=-1，即y02+y0(y1+y2)+y1y2=-4p2．
∴y02+

2p

k

+p2=-4p2，即ky02+2py0+5kp2=0．
△=4p²-20k²p²≥0，解得-

5

≤k≤

5

，又-1＜k＜1且k≠0．
所以k的取值范围为[-

5

，0)∪(0，

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线与x轴交于M点，过M点斜率为..”的主要目的是检查您对于考点“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中抛物线的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：