已知圆C经过点P1（1，0），P2（1，2），P3（2，1），斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点．点G为弦MN的中点．（Ⅰ）求圆C的方程（Ⅱ）当OC?OG取得最大值时，求直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：已知圆C经过点P1（1，0），P2（1，2），P3（2，1），斜率为k且经过原点..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-31 07:30:00

试题原文

已知圆C经过点P₁（1，0），P₂（1，2），P₃（2，1），斜率为k且经过原点的直线l与圆C交于M、N两点．点G为弦MN的中点．
（Ⅰ）求圆C的方程
（Ⅱ）当

OC

?

OG

取得最大值时，求直线l的方程．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：向量数量积的运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）设圆C的方程：x²+y²+Dx+Ey+F=0（D²+E²-4F＞0）（1分）
则

1+D+F=0

1+4+D+2E+F=0

4+1+2D+E+F=0

，解得

D=-2

E=-2

F=1

∴圆C的方程x²+y²-2x-2y+1=0，化成标准形式得（x-1）²+（y-1）²=（15分）
（Ⅱ）设直线l：y=kx，M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），G（x₀，y₀）
由

y=kx

x2+y2-2x-2y+1=0

，消y得（1+k²）x²-2（k+1）x+1=0（7分）
由题意得△=4（1+k）²-4（1+k²）＞0，解出k＞0（8分）
x1+x2=

2(1+k)

1+k2

，即x0=

(1+k)

1+k2

，y0=

k(1+k)

1+k2

∴点G(

(1+k)

1+k2

，

k(1+k)

1+k2

)
又∵

OC

=(1，1)（9分）
∴

OC

?

OG

=

k+1

k2+1

+

k2+k

k2+1

=

k2+2k+1

k2+1

=1+

2k

k2+1

=1+

2

k+

1

k

∵

2

k+

1

k

≤

2

k?

1

k

=1，∴

OC

?

OG

=1+

2

k+

1

k

≤2（13分）
因此，可得当k=

1

k

即k=1时，

OC

?

OG

取得最大值是2（13分）
此时直线l的方程为y=x（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知圆C经过点P1（1，0），P2（1，2），P3（2，1），斜率为k且经过原点..”的主要目的是检查您对于考点“高中向量数量积的运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中向量数量积的运算”。

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