求证：2＜（1+1n）n＜3（n≥2，n∈N*）．-数学试题及答案

1、试题题目：求证：2＜（1+1n）n＜3（n≥2，n∈N*）．

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-25 07:30:00

试题原文

求证：2＜（1+

1

n

）ⁿ＜3（n≥2，n∈N^*）．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：反证法与放缩法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1+

1

n

）ⁿ=C_n⁰+C_n¹×

1

n

+C_n²（

1

n

）²+…+C_nⁿ（

1

n

）ⁿ
=1+1+C_n²×

1

n2

+C_n³×

1

n3

+…+C_nⁿ×

1

nn

=2+

1

2!

×

n(n-1)

n2

+

1

3!

×

n(n-1)(n-2)

n3

+…+

1

n!

×

n×(n-1)××2×1

nn

＜2+

1

2!

+

1

3!

+

1

4!

+…+

1

n!

＜2+

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n-1

=2+

1

2

[1-(

1

2

)n-1]

1-

1

2

=3-（

1

2

）^n-1＜3．
显然（1+

1

n

）ⁿ=1+1+C_n²×

1

n2

+C_n³×

1

n3

+…+C_nⁿ×

1

nn

＞2．
所以2＜（1+

1

n

）ⁿ＜3．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“求证：2＜（1+1n）n＜3（n≥2，n∈N*）．”的主要目的是检查您对于考点“高中反证法与放缩法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反证法与放缩法”。

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