对于给定首项x0＞3a（a＞0），由递推公式xn+1=12（xn+axn）（n∈N）得到数列{xn}，对于任意的n∈N，都有xn＞3a，用数列{xn}可以计算3a的近似值．（1）取x0=5，a=100，计算x1，x2，x3的值（精-数学试题及答案

1、试题题目：对于给定首项x0＞3a（a＞0），由递推公式xn+1=12（xn+axn）（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-25 07:30:00

试题原文

对于给定首项x₀＞

3	a

（a＞0），由递推公式x_n+1=

1

2

（x_n+

a

xn

）（n∈N）得到数列{x_n}，对于任意的n∈N，都有x_n＞

3	a

，用数列{x_n}可以计算

3	a

的近似值．
（1）取x₀=5，a=100，计算x₁，x₂，x₃的值（精确到0.01）；归纳出x_n，x_n+1，的大小关系；
（2）当n≥1时，证明：x_n-x_n+1＜

1

2

（x_n-1-x_n）；
（3）当x₀∈[5，10]时，用数列{x_n}计算

3	100

的近似值，要求|x_n-x_n+1|＜10^-4，请你估计n，并说明理由．

试题来源：上海试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：反证法与放缩法

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵x₀=5，a=100，x_n+1=

1

2

（x_n+

a

xn

）
∴x₁=

1

2

（5+

100

5

）≈4.74
同理可得x₂≈4.67，x₃≈4.65
猜想x_n＞x_n+1；
（2）证明：x_n-x_n+1-

1

2

（x_n-1-x_n）=xn-

1

2

a

xn

-

1

2

xn-1=

a

2

?

xn

-

xn-1

xn-1xn

∵xn＞

3	a

；
∴x_n-x_n+1=

1

2

(xn-

a

xn

)=

1

2

?

xn3

-

a

xn

＞0
∴x_n＞x_n+1
∴xn-xn+1＜

1

2

(xn-1-xn)；
（3）由（2）知0＜xn-xn+1＜

1

2

(xn-1-xn)＜…＜

1

2n

(x0-x1)
由题意，只要

1

2n

(x0-x1)＜10-4，即2ⁿ＞10⁴（x₀-x₁）
∵x0-x1=

1

2

(x0-

10

x0

)
∴n＞log2(104?

10-

10

2

)=15.1
∴n=16．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于给定首项x0＞3a（a＞0），由递推公式xn+1=12（xn+axn）（..”的主要目的是检查您对于考点“高中反证法与放缩法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中反证法与放缩法”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：