平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），动点P（x，y）满足：OP=mOA+(m-1)OB(m∈R)．（1）求点P的轨迹方程；（2）设点P的轨迹与双曲线C：x2a2-y2b2=1(a＞0，b＞0)-数学试题及答案

1、试题题目：平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），动点P（x，y）满足：

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

(m∈R)．
（1）求点P的轨迹方程；
（2）设点P的轨迹与双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1(a＞0，b＞0)交于相异两点M、N．若以MN为直径的圆经过原点，且双曲线C的离心率等于

3

，求双曲线C的方程．

试题来源：海淀区二模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵

OP

=m

OA

+(m-1)

OB

，
∴（x，y）=m（1，0）+（m-1）（0，-1）
∴

x=m

y=1-m

，∴x+y=1即点P的轨迹方程为x+y-1=0
（2）由

x+y=1

x2

a2

-

y2

b2

得：（b²-a²）x²+2a²x-a²-a²b²=0
∵点P轨迹与双曲线C交于相异两点M、N，∴b²-a²≠0，
且△=4a⁴-4（b²-a²）（-a²-a²b²）＞0（*）
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=-

2a2

b2-a2

，x1x2=-

a2+a2b2

b2-a2

∵以MN为直径的圆经过原点，∴

OM

?

ON

=0，
即：x₁x₂+y₁y₂=0，∴x₁x₂+（1-x₁）（1-x₂）=0，即1+

2a2

b2-a2

-

2(a2+a2b2)

b2-a2

=0
即b²-a²-2a²b²=0①，∵e=

3

，∴e2=

a2+b2

a2

=3，∴b²=2a²②．
∴由①、②解得a=

1

2

，b=

2

符合（*）式
∴双曲线C的方程为4x²-2y²=1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知两定点A（1，0）、B（0，-1），..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：