在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=2PB，记点P的轨迹曲线为C．（1）求曲线C的方程；（2）曲线C上不同两点Q（x1，y1），R（x2，y2）满足AR=λAQ，点-数学试题及答案

1、试题题目：在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-22 07:30:00

试题原文

在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P满足PA=

2

PB，记点P的轨迹曲线为C．
（1）求曲线C的方程；
（2）曲线C上不同两点Q （x₁，y₁），R （x₂，y₂）满足

AR

=λ

AQ

，点S为R 关于x轴的对称点．
①试用λ表示x₁，x₂，并求λ的取值范围；
②当λ变化时，x轴上是否存在定点T，使S，T，Q三点共线，证明你的结论．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设点P坐标为（x，y），由PA=

2

PB，得

(x-2a)2+y2

=

2

×

(x-a)2+y2

，平方整理得x²+y²=2a²，所以曲线C的方程为x²+y²=2a²
（2）①由

AR

=λ

AQ

，得

x2-λx1=2a(1-λ)

y2=λy1

，∵Q，R在曲线C上，∴

x

21

+

y

21

=2a2

x

22

+

y

22

=2a2

，
∴x1=

3-λ

2

a，x2=

3λ-1

2λ

a，∵-

2

a≤x1，x2≤

2

a，∴3-2

2

≤λ≤3+2

2

又Q，R不重合，∴λ≠1，∴λ的取值范围是[3-2

2

，1)∪(1，3+2

2

)
②存在符合题意的点T（a，0），证明如下：

TS

=(x2-a，--y2)，

TQ

=(x1-a，--y1)，
要证S，T，Q三点共线，只要证明

TQ

∥

TS

，即（x₂-a）y₁-（x₁-a）（-y₂）=0
∵y₂=λy₁，∴只要（x₂-a）y₁+λ（x₁-a）y₁=0
若y₁=0，则y₂=0成立
若y₁≠0，只要x₂+λx₁-a（1+λ）=0成立
所以存在点T（a，0），使S，T，Q三点共线

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“在平面直角坐标系xOy中，A（2a，0），B（a，0），a为非零常数，动点P..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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