已知M（2，0），N（-2，0），动点P满足|PN|-|PM|=2，点P的轨迹为W，过点M的直线与轨迹W交于A，B两点．（Ⅰ）求轨迹W的方程；（Ⅱ）若2AM=MB，求直线AB斜率k的值，并判断以线段AB为直径的-数学试题及答案

1、试题题目：已知M（2，0），N（-2，0），动点P满足|PN|-|PM|=2，点P的轨迹为W，过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-21 07:30:00

试题原文

已知M（2，0），N（-2，0），动点P满足|PN|-|PM|=2，点P的轨迹为W，过点M的直线与轨迹W交于A，B两点．
（Ⅰ）求轨迹W的方程；
（Ⅱ）若2

AM

=

MB

，求直线AB斜率k的值，并判断以线段AB为直径的圆与直线x=

1

2

的位置关系，并说明理由．

试题来源：崇文区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：动点的轨迹方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵|PN|-|PM|=2＜|MN|=4，
∴点P的轨迹是以M，N为焦点的双曲线的右支，
且a=1，c=2，b=

3

．
∴轨迹W的方程为x2-

y

3

2=1(x≥1)．（4分）
（Ⅱ）设直线AB的方程为y=k（x-2）．
由

y=k(x-2)

x2-

y

3

2=1

得（3-k²）x²+4k²x-4k²-3=0．（5分）
设A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂），
则x1+x2=

4k2

k2-3

＞0，①
x1x2=

4k2+3

k2-3

＞0，②
△=16k⁴+4（3-k²）（4k²+3）＞0．③（8分）
由①②③解得k²＞3．（9分）
∵2

AM

=

MB

，
∴2（2-x₁，-y₁）=（x₂-2，y₂），
∴x₂=6-2x₁．代入①②，得

4k2

k2-3

=6-x1，

4k2+3

k2-3

=x1(6-2x1)．
消掉x₁得k2=35，k=±

35

．（11分）
∵M（2，0）为双曲线右支的焦点，离心率e=2．由双曲线的几何性质，
得|AB|=e(x1+x2)-2a=2×

4k2

k2-3

-2=

6(k2+1)

k2-3

．
设以AB为直径的圆的圆心为Q，Q到直线l的距离为d，
则d=

x1+x2

2

-

1

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

．
∴d-

|AB|

2

=

3(k2+1)

2(k2-3)

-

3(k2+1)

k2-3

=-

3(k2+1)

2(k2-3)

＜0．
∴d＜

|AB|

2

，直线l与圆Q相交．（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知M（2，0），N（-2，0），动点P满足|PN|-|PM|=2，点P的轨迹为W，过..”的主要目的是检查您对于考点“高中动点的轨迹方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中动点的轨迹方程”。

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