已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极限值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．（1）求a、b的值；（2）当x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c2恒成立，求实数c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极限值，其图象在x=1处的切..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+3ax²+3bx+c在x=2处有极限值，其图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行．
（1）求a、b的值；
（2）当x∈[1，3]时，f（x）＞1-4c²恒成立，求实数c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵f（x）=x³+3ax²+3bx+c，∴f'（x）=3x²+6ax+3b，
∵f（x）在x=2处有极值，∴f'（2）=12+12a+3b=0，①
又∵f（x）图象在x=1处的切线与直线6x+2y+5=0平行，∴f'（1）=3+6a+3b=-3，②
联立①②解得 a=-1，b=0；
（2）在x∈[1，3]内，f（x）=x³-3x²+c＞1-4c²恒成立，等价于f（x）_min＞1-4c²，
由f'（x）=3x²-6x=0，解得x=0或x=2，
又∵f（2）=c-4，f（1）=c-2，f（3）=c，
∴f（x）_min=c-4，
∴c-4＞1-4c²，解得c的取值范围为c＜-

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或c＞1．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+3ax2+3bx+c在x=2处有极限值，其图象在x=1处的切..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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