发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-14 07:30:00
| 试题原文 |
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| （1）因为f（x）=ax+xlnx，所以f'（x）=a+lnx+1．（1分） 因为函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e处的切线斜率为3， 所以f'（e）=3，即a+lne+1=3． 所以a=1．（2分） （2）由（1）知，f（x）=x+xlnx， 所以k＜
令g(x)=
则g′(x)=
令h（x）=x-lnx-2（x＞1）， 则h′(x)=1-
所以函数h（x）在（1，+∞）上单调递增．（5分） 因为h（3）=1-ln3＜0，h（4）=2-2ln2＞0， 所以方程h（x）=0在（1，+∞）上存在唯一实根x0，且满足x0∈（3，4）． 当1＜x＜x0时，h（x）＜0，即g'（x）＜0，当x＞x0时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，（6分） 所以函数g(x)=
所以[g(x)]min=g(x0)=
所以k＜[g（x）]min=x0∈（3，4）． 故整数k的最大值是3．（8分） （3）证明：由（2）知，g(x)=
所以当n＞m≥4时，
即n（m-1）（1+lnn）＞m（n-1）（1+lnm）． 整理，得mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn+（n-m）．（11分） 因为n＞m，所以mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn．（12分） 即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn． 即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．（13分） 所以（mnn）m＞（nmm）n．（14分） 证明2：构造函数f（x）=mxlnx+mlnm-mxlnm-xlnx，（9分） 则f'（x）=（m-1）lnx+m-1-mlnm．（10分） 因为x＞m≥4，所以f'（x）＞（m-1）lnm+m-1-mlnm=m-1-lnm＞0． 所以函数f（x）在[m，+∞）上单调递增．（11分） 因为n＞m，所以f（n）＞f（m）． 所以mnlnn+mlnm-mnlnm-nlnn＞m2lnm+mlnm-m2lnm-mlnm=0．（12分） 即mnlnn+mlnm＞mnlnm+nlnn． 即lnnmn+lnmm＞lnmmn+lnnn． 即ln（nmnmm）＞ln（mmnnn）．（13分） 所以（mnn）m＞（nmm）n．（14分） |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax+xlnx的图象在点x=e（e为自然对数的底数）处的切线..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。