已知函数f（x）=ax3-32x2+b，（x∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，求a的值；（2）若a＞0，b=2，当x∈[-1，1]时，求f（x）的最小值．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=ax3-32x2+b，（x∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-14 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=ax³-

3

2

x²+b，（x∈R）．
（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y=6x-8，求a的值；
（2）若a＞0，b=2，当x∈[-1，1]时，求f（x）的最小值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f′（x）=3ax²-3x，f′（2）=6得a=1
由切线方程y=6x-8得f（2）=4；
又f（2）=8a-6+b=b+2，所以b=2
所以a=1，b=2
（2）f（x）=ax³-

3

2

x²+2
f′（x）=3ax²-3x=3x（ax-1）．令f′（x）=0，解得x=0或x=

1

a

．
以下分两种情况讨论：
①若

1

a

＞1即0＜a＜1，当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如下表：

X	（-1，0）	0	（0，1）
f′（x）	+	0	-
f（x）	↗	极大值	↘

f（-1）=-a-

3

2

+2，f（1）=a-

3

2

+2
所以 f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a
②若0＜

1

a

＜1即a＜1．当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：

X

（-1，0）

0

（0，

1

a

）

1

a

（

1

a

，1）

f’（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↗

极大值

↘

极小值

↗

f（-1）=

1

2

-a，f（

1

a

）=2-

1

2a 2

而f（

1

a

）-f（-1）=2-

1

2a 2

-（

1

2

-a）=

3

2

+a-

1

2a 2

＞0
所以f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a
综合①和②得：f（x）_min=f（-1）=

1

2

-a．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=ax3-32x2+b，（x∈R）．（1）若曲线y=f（x）在点（2，f（2））处..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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