已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a、b的值；（2）若函数f（x）的图象与x轴有3个交点，求c的取值范围．-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a、b的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c在x=-

2

3

与x=1时都取得极值．
（1）求a、b的值；
（2）若函数f（x）的图象与x轴有3个交点，求c的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）f（x）=x³+ax²+bx，f′（x）=3x²+2ax+b
由f′（ -

2

3

）=

12

9

-

4

3

a+b=0，f′（1）=3+2a+b=0
得a=-

1

2

，b=-2
经检验，a=-

1

2

，b=-2符合题意
（2）由（1）得函数解析式为f(x)=x3-

1

2

x2-2x+c
∴f′（x）=3x²-x-2=（3x+2）（x-1），
列表

x

（-∞，-

2

3

）

-

2

3

（-

2

3

，1）

1

（1，+∞）

f′（x）

+

0

-

0

+

f（x）

↑

极大值

↓

极小值

↑

f(-

2

3

)=

22

27

+c，f(1)=-

3

2

+c，
要使函数f（x）的图象与x轴有3个交点，
须满足

f(-

2

3

)=

22

27

+c＞0

f(1)=-

3

2

+c＜0

解得-

22

27

＜c＜

3

2

，
因此c的取值范围为：-

22

27

＜c＜

3

2

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）=x3+ax2+bx+c在x=-23与x=1时都取得极值．（1）求a、b的..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。

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