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1、试题题目：已知函数f(x)=ax2+1x-2lnx（x＞0）．（Ⅰ）若f（x）在[1，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com） 发布时间：2015-12-04 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=ax2+
1
x
-2lnx（x＞0）．
（Ⅰ）若f（x）在[1，+∞）上单调递增，求实数a的取值范围；
（Ⅱ）若定义在区间D上的函数y=g（x）对于区间D上的任意两个值x1、x2，总有不等式
1
2
[g(x1)+g(x2)]≥g(
x1+x2
2
)成立，则称函数y=g（x）为区间D上的“凸函数”．试证当a≥0时，f（x）为“凸函数”．

  试题来源：石景山区一模   试题题型：解答题   试题难度：中档   适用学段：高中   考察重点：函数的单调性与导数的关系



2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（Ⅰ）由f(x)=ax2+
1
x
-2lnx，得f′(x)=2ax-
1
x2
-
2
x
．（2分）
由函数f（x）为[1，+∞）上单调增函数，得f'（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，
即不等式2ax-
1
x2
-
2
x
≥0在[1，+∞）上恒成立．
也即a≥
1
2x3
+
1
x2
在[1，+∞）上恒成立．（4分）
令g（x）=
1
2x3
+
1
x2
，上述问题等价于a≥g（x）max．
而g（x）=
1
2x3
+
1
x2
为在[1，+∞）上的减函数，则g(x)max=g(1)=
3
2
．
于是a≥
3
2
为所求．（6分）
（Ⅱ）证明：由f(x)=ax2+
1
x
-2lnx，
得
1
2
[f(x1)+f(x2)]=a?
x21
+
x22
2
+
1
2
?(
1
x1
+
1
x2
)-(lnx1+lnx2)
=a?
x21
+
x22
2
+
x1+x2
2x1x2
-ln(x1x2)．f(
x1+x2
2
)=a?(
x1+x2
2
)2+
2
x1+x2
-ln(
x1+x2
2
)2．
而
x21
+
x22
2
≥
1
4
[(
x21
+
x22
)+2x1x2]=(
x1+x2
2
)2．①
∵a≥0，∴a?
x21
+
x22
2
≥a?(
x1+x2
2
)2．（9分）
又（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥4x1x2，
∴
x1+x2
2x1x2
≥
2
x1+x2
．②（11分）
∵x1x2≤(
x1+x2
2
)2，∴ln(x1x2)≤ln(
x1+x2
2
)2．
∴-ln(x1x2)≥-ln(
x1+x2
2
)2．③（13分）
由①、②、③，得a?
x21
+
x22
2
+
x1+x2
2x1x2
-ln(x1x2)≥a?(
x1+x2
2
)2+
2
x1+x2
-ln(
x1+x2
2
)2．
即
1
2
[f(x1)+f(x2)]≥f(
x1+x2
2
)，从而由凸函数的定义可知函数f（x）为凸函数．（14分）
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

    经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=ax2+1x-2lnx（x＞0）．（Ⅰ）若f（x）在[1，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性与导数的关系”。


4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：

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