对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；②存在区间[a，b]?3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．-数学试题及答案

1、试题题目：对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：
①函数y=f（x）在定义域D内是单调递增或单调递减函数；
②存在区间[a，b]?3D，使函数f（x）在[a，b]上的值域为[a，b]，则称f（x）是D上的闭函数．
（1）求闭函数f（x）=-x³符合条件②的区间[a，b]；
（2）判断函数g（x）=

3

4

x+

1

x

，在区间（0，+∞）上是否为闭函数；
（3）若函数φ（x）=k+

x+2

是闭函数，求实数k的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵y=-x³是[a，b]上的减函数，
∴

f(a)=-a3=b

f(b)=-b3=a.

∴

b

a

=

-a3

-b3

=(

a

b

)3．
∴（

a

b

)4=1，∴

a

b

=±1
又∵-a³=b，∴

a=-1

b=1

．
∴所求区间为[-1，1]．
（2）∵g′（x）=

3

4

-

1

x2

，x∈（0，+∞），
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＞0，得x＞

2

3

，
∴x＞

2

3

时，g（x）为（

2

3

，+∞）上的增函数．
令g′（x）=

3

4

-

1

x2

＜0，得0＜x＜

2

3

∴g（x）为（0，

2

3

）上的减函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的单调函数．
∴g（x）不是（0，+∞）上的闭函数．
（3）易知φ（x）是[-2，+∞]上的增函数．
设φ（x）=k+

x+2

满足条件②的区间是[a，b]，
∴

?(a)=k+

a+2

=a

?(b)=k+

b+2

=b.

即a，b是方程x=k+

x+2

的两个不等实根．
也就是方程组

x2-(2k+1)x+(k2-2)=0

x≥-2

x≥k

有两个不等实根a，b．
①当k≤-2时，方程x²-（2k+1）+（k²-2）=0在[-2，+∞）上有两个不等实根．
∴

2k+1

2

＞-2

△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0

(-2)2-(2k+1)(-2)+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2．
②当k＞-2时，方程x²-（2k+1）x+（k²-2）=0在[k，+∞）上有两个不等实根．
∴

2k+1

2

＞k

△=(2k+1)2-4(k2-2)＞0

k2-(2k+1)k+(k2-2)≥0.

解得：-

9

4

＜k≤-2，与条件k＞-2矛盾．
∴φ（x）=k+

x+2

是闭函数，实数k的取值范围是-

9

4

＜k≤-2．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“对于函数y=f（x），若同时满足下列条件：①函数y=f（x）在定义域D内是单..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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