已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）定理：函数g(x)=ax+bx（a、b是正常数）在区间(0，ba)上为减函数，在区间(ba，+∞)上为增函数．参考该定理，解决下面问题-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）定理：..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．
（1）求k的值；
（2）定理：函数g(x)=ax+

b

x

（a、b是正常数）在区间(0，

b

a

)上为减函数，在区间(

b

a

，+∞)上为增函数．参考该定理，解决下面问题：是否存在实数m同时满足以下两个条件：①不等式f(x)-

m

2

＞0恒成立；②方程f（x）-m=0有解．若存在，试求出实数m的取值范围，若不存在，请说明理由．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）由函数f（x）是偶函数，可知f（x）=f（-x）．
∴log₄（4^x+1）+kx=log₄（4^-x+1）-kx．…（2分）
即log₄

4x+1

4-x+1

=-2kx，log₄4^x=-2kx，…（4分）
∴x=-2kx对一切x∈R恒成立．∴k=-

1

2

．…（6分）
（利用f（-1）=f（1）解出k=-

1

2

，可得满分）
（2）由m=f（x）=log₄（4^x+1）-

1

2

x，
∴m=log₄

4x+1

2x

=log₄（2^x+

1

2x

）．…（8分）
设u=2^x+

1

2x

，又设t=2^x，则u=t+

1

t

，由定理，知u_min=u（1）=2，…（10分）
∴m≥log₄2=

1

2

．故要使方程f（x）-m=0有解，m的取值范围为m≥

1

2

．…（12分）
f(x)-

m

2

＞0?f(x)min＞

m

2

而f(x)min=

1

2

，
∴

1

2

＞

m

2

即m＜1，
综上所述，

1

2

≤m＜1…（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f(x)=log4(4x+1)+kx（k∈R）是偶函数．（1）求k的值；（2）定理：..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：