已知f（x）=lnx，g(x)=x+ax（a∈R）．（1）求f（x）-g（x）的单调区间；（2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；（3）当n∈N*，n≥2时，证明：ln23?ln34?…?lnnn+1＜1n．-数学试题及答案

1、试题题目：已知f（x）=lnx，g(x)=x+ax（a∈R）．（1）求f（x）-g（x）的单调区间；（2）若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

已知f（x）=lnx，g(x)=x+

a

x

（a∈R）．
（1）求f（x）-g（x）的单调区间；
（2）若x≥1时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数a的取值范围；
（3）当n∈N^*，n≥2时，证明：

ln2

3

?

ln3

4

?…?

lnn

n+1

＜

1

n

．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）F(x)=f(x)-g(x)=lnx-x-

a

x

(x＞0)
F′(x)=

1

x

-1+

a

x2

=

-x2+x+a

x2

（1分）
当△=1+4a≤0，
即a≤-

1

4

时，F′（x）≤0，
所以F（x）在（0，+∞）上单调递减（2分）
当△=1+4a＞0，即a＞-

1

4

时，
F′(x)=0，x1=

-

1+4a

+1

2

，x2=

1+4a

+1

2

，
①-

1

4

＜a≤0时，
x₁＞0，x₂＞0，
单调增区间为（0，+∞）（3分）
②a＞0时，
x₁＞0，x₂＞0，
单调增区间为（x₁，x₂），
单调减区间为（0，x₁），（x₂，+∞）（5分）
综上：①a≤-

1

4

时，F（x）在（0，+∞）上单调递减（只要写出以上三种情况即得5分）
②-

1

4

＜a≤0时，
x₁≤0，x₂＞0，
单调增区间为（0，x₂），单调减区间为（x₂，+∞）
③a＞0时，
x₁＞0，x₂＞0，
单调增区间为（x₁，x₂），，单调减区间为（0，x₁），（x₂，+∞）
（2）lnx≤x+

a

x

恒成立，
等价于a≥[xlnx-x²]_max（6分）
k（x）=xlnx-x²，k′（x）=1+lnx-2x，
[k′(x)]′=

1

x

-2＜0
k′（x）在[1，+∞）上单调递减，
k′（x）≤k′（1）=-1＜0，
k（x）在[1，+∞）上单调递减，
所以k（x）的最大值为k（1）=-1，所以a≥-1（18分）
（3）证法一：由（2）知当a=-1时，x≥1时，lnx≤x-

1

x

恒成立
所以n∈N^*，n≥2时，有lnn＜n-

1

n

?

lnn

n+1

＜

n-1

n

（10分）
所以

ln2

3

＜

1

2

，

ln3

4

＜

2

3

，

lnn

n+1

＜

n-1

n

相乘得

ln2

3

?

ln3

4

??

lnn

n+1

＜

1

n

（12分）
方法二：数学归纳法
①当n=2时，显然成立（9分）
②假设n=k（n∈N^*，n≥2）成立，即

ln2

3

?

ln3

4

??

lnk

k+1

＜

1

k

那么当n=k+1时，

ln2

3

?

ln3

4

??

lnk

k+1

?

ln(k+1)

k+2

＜

1

k

?

ln(k+1)

k+2

下面只需证

1

k

?

ln(k+1)

k+2

＜

1

k+1

，（k+1）ln（k+1）＜k（k+2）
设t=k+1≥3，所以设k（t）=tlnt-t²+1
由（2）知当a=-1时，x≥1时，lnx≤x-

1

x

恒成立，
即k（t）=tlnt-t²++1＜0在t=k+1≥3恒成立，所以

ln2

3

?

ln3

4

??

lnk

k+1

?

ln(k+1)

k+2

＜

1

k+1

综合（1）（2）命题成立（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知f（x）=lnx，g(x)=x+ax（a∈R）．（1）求f（x）-g（x）的单调区间；（2）若..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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