某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面几个结论：①等式f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立；②若f（x1）≠f（x2），则一定有x1≠x2；③若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不等实数根；④函数-数学试题及答案

1、试题题目：某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面几个结论：①等..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-30 07:30:00

试题原文

某同学在研究函数f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)时，分别给出下面几个结论：
①等式f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立；
②若f（x₁）≠f（x₂），则一定有x₁≠x₂；
③若m＞0，方程|f（x）|=m有两个不等实数根；
④函数g（x）=f（x）-x在R上有三个零点．
其中正确结论的序号有______．（请将你认为正确的结论的序号都填上）

试题来源：上海模拟试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由题意知
①因为f(-x)=

-x

1+|-x|

=-(

x

1+|x|

)=-f(x)(x∈R)，所以f(x)=

x

1+|x|

(x∈R)是奇函数，故f（-x）+f（x）=0对x∈R恒成立，即①正确；
②则当x＞0时，f（x）=

1

1+

1

x

反比例函数的单调性可知，f（x）在（0，+∞）上是增函数
再由①知f（x）在（-∞，0）上也是增函数，从而f（x）为单调递增函数，
所以f（x₁）≠f（x₂），则一定有x₁≠x₂成立，故命题错误；
③因为f（x）为单调递增函数，所以|f（x）|为偶函数，因为f（x）在（0，+∞）为单调递增函数，所以函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且0≤|f（x）|＜1，所以当0＜m＜1时有两个不相等的实数根，当m≥1时不可能有两个不等的实数根，故本命题错误；
④可以判断g（x）为奇函数，并且g（x）在（-∞，0）上单调递减，即g（x）在（-∞，0）上g（x）＞0，在（0，+∞）上单调递减，即g（x）在（0，+∞）上g（x）＜0，故函数g（x）=f（x）-x在R上有一个零点．错误
故答案为：①②．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“某同学在研究函数f(x)=x1+|x|(x∈R)时，分别给出下面几个结论：①等..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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