已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为22，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为22．（I）求椭圆C的方程；（II）设直线l经过的定点为Q，过点Q作-数学试题及答案

1、试题题目：已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-29 07:30:00

试题原文

已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），椭圆C的离心率为

2

，连接椭圆的四个顶点形成四边形的面积为2

2

．
（I）求椭圆C的方程；
（II）设直线l经过的定点为Q，过点Q作斜率为k的直线l′与椭圆C有两个不同的交点，求实数k的取值范围；
（Ⅲ）设直线l与y轴的交点为P，M为椭圆C上的动点，线段PM长度的最大值为f（m），求f（m）的表达式．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的单调性、最值

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（I）由离心率e=

2

，得b=c=

2

a
又因为2ab=2

2

，所以a=

2

，b=1，即椭圆标准方程为

x2

2

+y2=1．（4分）
（II）由l：mx-2y+2m=0经过定点Q（-2，0），则直线l′：y=k（x+2），
由

y=k(x+2)

x2

2

+y2=1

有（2k²+1）x²+8k²x+8k²-2=0．
所以△=64k⁴-8（2k²+1）（4k²-1）＞0，可化为 2k²-1＜0
解得-

2

＜k＜

2

．（8分）
（Ⅲ）由l：mx-2y+2m=0，设x=0，则y=m，所以P（0，m）．
设M（x，y）满足

x2

2

+y2=1，
则|PM|²=x²+（y-m）²=2-2y²+（y-m ）²=-y²-2my+m²+2=-（y+m）²+2m²+2，
因为-1≤y≤1，所以
当|m|＞1时，|MP|的最大值f（m）=1+|m|；
当|m|≤1时，|MP|的最大值f（m）=

2m2+2

；
所以f（m）=

1+|m|m＞1

2m2+2

|m|≤1

．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知直线l：mx-2y+2m=0（m∈R）和椭圆C：x2a2+y2b2=1（..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的单调性、最值”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的单调性、最值”。

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