如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点。（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点-数学试题及答案

1、试题题目：如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点。（1）求抛..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-05-12 07:30:00

试题原文

如图1，抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点。

（1）求抛物线的解析式；
（2）设抛物线的顶点为M，直线y=-2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D，现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上，若平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点，求它的顶点横坐标的值或取值范围；
（3）如图2，将抛物线平移，当顶点至原点时，过Q（0，3）作不平行于x轴的直线交抛物线于E、F两点，问在y轴的负半轴上是否存在一点P，使△PEF的内心在y轴上，若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

试题来源：湖北省中考真题试题题型：解答题试题难度：偏难适用学段：初中考察重点：求二次函数的解析式及二次函数的应用

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）抛物线y=ax²+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点，
∴

解得a=1，b=4，
∴抛物线解析式为y=x²+4x+3；
（2）由（1）配方得y=（x+2）²-1
∴抛物线的顶点M（-2，-1），
直线OD的解析式为y=

x，
于是设平移后的抛物线的顶点坐标为（h，

h），
∴平移后的抛物线解析式为y=（x-h）²+

h，
① 当抛物线经过点C时，
∵C（0，9），
∴h²+

h=9，
解得h=

，
∴当

≤x<

时，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点；
② 当抛物线与直线CD只有一个公共点时，由方程组

得x²+（-2h+2）x+h²+

h-9=0，
∴⊿=（-2h+2）²-4（h²+

h-9）=0，解得h=4，
此时抛物线y=（x-4）²+2与射线CD只有唯一一个公共点为（3，3），符合题意；
综上所述，平移的抛物线与射线CD（含端点C）只有一个公共点时，
顶点横坐标h的取值范围为h=4或

≤x<

；
（3）设直线EF的解析式为y=kx+3（k≠0），点E、F的坐标分别为（m，m²），（n，n²），
由

，得x²-kx-3=0，
∴m+n=k，m·n=-3，
作点E关于y轴的对称点R（-m，m²），作直线FR交y轴于点P，
由对称性知∠EFP=∠FPQ，此时△PEF的内心在y轴上，
∴点P即为所求的点，
由F，R的坐标可得直线FR的解析式为y=（n-m）x+mn，记y=（n-m）x-3，
当x=0时，y=-3，
∴P（0，-3），
∴y轴的负半轴上存在点P（0，-3），
使△PEF的内心在y轴上。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图1，抛物线y=ax2+bx+3经过点A（-3，0），B（-1，0）两点。（1）求抛..”的主要目的是检查您对于考点“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中求二次函数的解析式及二次函数的应用”。

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