（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=324．（1）求证：tgA?tgB=19；（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求|MC||AB|的最大-数学试题及答案

1、试题题目：（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-03-04 07:30:00

试题原文

（理）已知复数z=

5

2

sin

A+B

2

+icos

A-B

2

，其中A，B，C是△ABC的内角，若|z|=

3

2

4

．
（1）求证：tgA?tgB=

1

9

；
（2）当∠C最大时，存在动点M，使|MA|，|AB|，|MB|成等差数列，求

|MC|

|AB|

的最大值．

试题来源：宁波模拟试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：等差数列的定义及性质

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

证明：（1）∵|z|2=[

5

2

sin

A+B

2

]2+[cos

A-B

2

]2=[

3

2

4

]2…（2分）
∴

5

4

?

1-cos(A+B)

2

+

1+cos(A-B)

2

=

9

8

，
整理可得：4cos（A-B）=5cos（A+B），即4cosAcosB+4sinAsinB=5cosAcosB-5sinAsinB，
∴9sinA?sinB=cosA?cosB，
∴tgA?tgB=

1

9

…（5分）
（2）tgC=-tg(A+B)=-

9

8

(tgA+tgB)≤-

9

4

tgA?tgB

=-

3

4

，
当且仅当tgA=tgB=

1

3

时，tgC最大，即∠C最大 …（8分）
设|AB|=2a，
∵|MA|+|MB|=2|AB|=4a，
∴M在以A，B为焦点的椭圆上，椭圆长半轴为2a，半焦距为a，短半轴为

3

a，…（10分）
以直线AB为x轴，AB中点为原点，建立坐标系，
设椭圆方程为

x2

4a2

+

y2

3a2

=1，M(x，y)则

|MC|2

|AB|2

=

x2+(y-

a

3

)2

4a2

=-

y2

12a2

-

y

6a

+

37

36

=-

1

12a2

(y+a)2+

10

9

(-

3

a≤y≤

3

a)
所以，当y=-a时，(

|MC|

|AB|

)max=

10

3

…（13分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“（理）已知复数z=52sinA+B2+icosA-B2，其中A，B，C是△ABC的内角，若..”的主要目的是检查您对于考点“高中等差数列的定义及性质”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中等差数列的定义及性质”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：