设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线，（Ⅰ）当且仅当x1+x2取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；（Ⅱ）当x1=1，x2=-3时，求直线l的方程．-数学试题及答案

1、试题题目：设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-22 07:30:00

试题原文

设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）两点在抛物线y=2x²上，l是AB的垂直平分线，
（Ⅰ）当且仅当x₁+x₂取何值时，直线l经过抛物线的焦点F？证明你的结论；
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=-3时，求直线l的方程．

试题来源：陕西试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：直线的方程

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（Ⅰ）∵抛物线y=2x²，即x2=

y

2

，∴p=

1

4

，
∴焦点为F(0，

1

8

)（1分）
（1）直线l的斜率不存在时，显然有x₁+x₂=0（3分）
（2）直线l的斜率存在时，设为k，截距为b
即直线l：y=kx+b
由已知得：

y1+y2

2

=k?

x1+x2

2

+b

y1-y2

x1-x2

=-

1

k

（5分）?

2x

21

+

2x

22

2

=k?

x1+x2

2

+b

2x

21

-

2x

22

x1-x2

=-

1

k

?

x

21

+

x

22

=k?

x1+x2

2

+b

x1+x2=-

1

2k

（7分）?

x

21

+

x

22

=-

1

4

+b≥0?b≥

1

4

即l的斜率存在时，不可能经过焦点F(0，

1

8

)（8分）
所以当且仅当x₁+x₂=0时，直线l经过抛物线的焦点F（9分）
（Ⅱ）当x₁=1，x₂=-3时，
直线l的斜率显然存在，设为l：y=kx+b（10分）
则由（Ⅰ）得：

x

21

+

x

22

=k?

x1+x2

2

+b

x1+x2=-

1

2k

?

k?

x1+x2

2

+b=10

-

1

2k

=-2

（11分）?

k=

1

4

b=

41

4

（13分）
所以直线l的方程为y=

1

4

x+

41

4

，即x-4y+41=0（14分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设A（x1，y1），B（x2，y2）两点在抛物线y=2x2上，l是AB的垂直平分线..”的主要目的是检查您对于考点“高中直线的方程”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中直线的方程”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：