已知抛物线x2=4y的焦点为F，直线y=kx+1与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。（1）当k=时，证明：FM⊥AB；（2）若过点M作y轴的垂线，垂足为P，点A关-数学试题及答案

1、试题题目：已知抛物线x2=4y的焦点为F，直线y=kx+1与抛物线交于A，B两点，过..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-17 07:30:00

试题原文

已知抛物线x²=4y的焦点为F，直线y=kx+1与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M。

（1）当k=

时，证明：FM⊥AB；
（2）若过点M作y轴的垂线，垂足为P，点A关于y轴的对称点为Q，求证：P，Q，B三点共线。

试题来源：专项题试题题型：证明题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：用数量积判断两个向量的垂直关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）F（0，1），设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
将y= kx+1代入抛物线x²=4y得x²-4ky-4=0
∴当k=

时，

∵抛物线方程为x²=4y，即

∴过抛物线上A，B两点的切线方程分别是

∴两条切线的交点M的坐标为

∴

故FM⊥AB。
（2）由上可知

且 Q（-x₁， y₁），
P的坐标为

而

因为x₂（y₁+1） +x₁（y₂+1）=2kx₁x₂+2（x₁+x₂）=-8k+8k=0
所以

从而P，Q，B三点共线。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知抛物线x2=4y的焦点为F，直线y=kx+1与抛物线交于A，B两点，过..”的主要目的是检查您对于考点“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中用数量积判断两个向量的垂直关系”。

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