已知函数y=12cos2x+32sinxcosx+1，x∈R．（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数y=12cos2x+32sinxcosx+1，x∈R．（1）当函数y取得最大值时，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-09 07:30:00

试题原文

已知函数y=

1

2

cos2x+

3

2

sinxcosx+1，x∈R．
（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；
（2）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1
=

1

4

（2cos²x-1）+

1

4

+

3

4

（2sinxcosx）+1
=

1

4

cos2x+

3

4

sin2x+

5

4

=

1

2

（cos2x?sin

π

6

+sin2x?cos

π

6

）+

5

4

=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

（6分）
y取得最大值必须且只需
2x+

π

6

=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即x=

π

6

+kπ，k∈Z．
所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为
{x|x=

π

6

+kπ，k∈Z}（8分）
（2）将函数y=sinx依次进行如下变换：
①把函数y=sinx的图象向左平移

π

6

，得到函数y=sin（x+

π

6

）的图象；
②把得到的图象上各点横坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数y=sin（2x+

π

6

）的图象；
③把得到的图象上各点纵坐标缩短到原来的

1

2

倍（纵坐标不变），得到函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）的图象；
④把得到的图象向上平移

5

4

个单位长度，得到函数y=

1

2

sin（2x+

π

6

）+

5

4

的图象；综上得到函数y=

1

2

cos²x+

3

2

sinxcosx+1的图象．（12分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数y=12cos2x+32sinxcosx+1，x∈R．（1）当函数y取得最大值时，..”的主要目的是检查您对于考点“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中正弦、余弦函数的图象与性质（定义域、值域、单调性、奇偶性等）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：