设直线2x-y+1=0与椭圆x23+y24=1相交于A、B两点．（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆x2a2+y2b2=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、-数学试题及答案

1、试题题目：设直线2x-y+1=0与椭圆x23+y24=1相交于A、B两点．（1）线段AB中点M的..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

设直线2x-y+1=0与椭圆

x2

3

+

y2

4

=1相交于A、B两点．
（1）线段AB中点M的坐标及线段AB的长；
（2）已知椭圆具有性质：设A、B是椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．试对双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

试题来源：宝山区一模试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），则

2x-y+1=0

x2

3

+

y2

4

=1

?

4

3

x2+x-

3

4

=0?

x1+x2=-

3

4

x1x2=-

9

16

（2分）
所以M(-

3

8

，

1

4

)
|AB|=

1+22

| x1-x2|=

5

(x1+x2)2-4x1x2

=

15

4

（2）设A、B是双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1上的任意两点，M是线段AB的中点，若直线AB、OM的斜率都存在，并记为k_AB，k_OM，则k_AB?k_OM为定值．
证明：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），分别代入双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1，再相减后可得：

1

a2

(x1+x2)(x1-x2)-

1

b2

(y1+y2)(y1-y2)=0
设M（x₀，y₀），则

x1+x2=2x0

y1+y2=2y0

，代入上式可得

y1-y2

x1-x2

=

b2

a2

×

x0

y0

即k_AB?k_OM=

b2

a2

∴定值为

b2

a2

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设直线2x-y+1=0与椭圆x23+y24=1相交于A、B两点．（1）线段AB中点M的..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：