椭圆x2a2+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2=π2，则该椭圆的离心率的取值范围是（）A．（0，22]B．[22，1）C．（0，12]D．[12，1）-数学试题及答案

1、试题题目：椭圆x2a2+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-02-05 07:30:00

试题原文

椭圆

x2

a2

+y²=1上存在一点P，使得它对两个焦点F₁，F₂的张角∠F₁PF₂=

π

2

，则该椭圆的离心率的取值范围是（　　）

A．（0，

2

]

B．[

2

，1）

C．（0，

1

2

]

D．[

1

2

，1）

试题来源：不详试题题型：单选题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

∵椭圆方程为：

x2

a2

+y²=0，
∴b²=1，可得c²=a²-1，c=

a2-1

∴椭圆的离心率为e=

a2-1

a

又∵椭圆上一点P，使得角∠F₁PF₂=

π

2

，
∴设点P的坐标为（x₀，y₀），结合F₁（-c，0），F₂（c，0），
可得

PF1

=（-c-x₀，-y₀），

PF2

=（c-x₀，-y₀），
∴

PF1

?

PF2

=x02-c2+y02=0…①
∵P（x₀，y₀）在椭圆

x2

a2

+y²=1上，
∴y02=1-

x02

a2

，代入①可得x02-c2+1-

x02

a2

=0
将c²=a²-1代入，得x02-a²-

x02

a2

+2=0，所以x02=

a4-2a2

a2-1

，
∵-a≤x₀≤a
∴0≤x02≤a2，即0≤

a4-2a2

a2-1

≤a2，解之得1＜a²≤2
∴椭圆的离心率e=

a2-1

a

=

1-

1

a2

∈[

2

，1）．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“椭圆x2a2+y2=1上存在一点P，使得它对两个焦点F1，F2的张角∠F1PF2..”的主要目的是检查您对于考点“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中椭圆的性质（顶点、范围、对称性、离心率）”。

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