设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(.z)41+z4，并且|ω|=33，argω＜π2，求θ．-数学试题及答案

1、试题题目：设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(.z)41+z4，并且|ω|=33，argω＜..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-07 07:30:00

试题原文

设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=

1-(

.

z

)4

1+z4

，并且|ω|=

3

，argω＜

π

2

，求θ．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：复数的四则运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解法一ω=

1-[cos(-θ)+isin(-θ)]4

1+[cosθ+isinθ]4

=

1-cos(-4θ)-isin(-4θ)

1+cos4θ+isin4θ

=

2sin22θ+2isin2θcos2θ

2cos22θ+2isin2θcos2θ

=tg2θ（sin4θ+icos4θ）．|ω|=|tg2θ|?|sin4θ+icos4θ|=|tg2θ|=

3

，tg2θ=±

3

．
因0＜θ＜π，故有
（ⅰ）当tg2θ=

3

时，得θ=

π

12

或θ=

7π

12

，这时都有ω=

3

(cos

π

6

+isin

π

6

)，
得argω=

π

6

＜

π

2

，适合题意．
（ⅱ）当tg2θ=-

3

时，得θ=

5π

12

或θ=

11π

12

，这时都有ω=

3

(cos

11π

6

+isin

11π

6

)，
得argω=

11π

6

＞

π

2

，不适合题意，舍去．
综合（ⅰ）、（ⅱ）知θ=

π

12

或θ=

7π

12

．
解法二z⁴=cos4θ+isin4θ．
记φ=4θ，得(

.

z

)4=

.

(z4)

=cos?-isin?．ω=

1-cos?+isin?

1+cos?+isin?

．=

sin?

1+cos?

(sin?+icos?)=tg

?

2

(sin?+icos?)．∵|ω|=

3

，argω＜

π

2

，
①②③
∴

|tg

?

2

|=

3

tg

?

2

?sin?＞0

tg

?

2

?cos?≥0

当①成立时，②恒成立，所以θ应满足
（ⅰ）

0＜θ＜π

tg2θ=

3

cos4θ≥0

，或（ⅱ）

0＜θ＜π

tg2θ=-

3

cos4θ≤0

，
解（ⅰ）得θ=

π

12

或θ=

7π

12

．（ⅱ）无解．
综合（ⅰ）、（ⅱ）θ=

π

12

或θ=

7π

12

．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设复数z=cosθ+isinθ（0＜θ＜π），ω=1-(.z)41+z4，并且|ω|=33，argω＜..”的主要目的是检查您对于考点“高中复数的四则运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中复数的四则运算”。

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