设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为_____

1、试题题目：设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2016-01-07 07:30:00

试题原文

设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|≤2，则实数a的取值范围为______．

试题来源：静安区一模试题题型：填空题试题难度：偏易适用学段：高中考察重点：复数的四则运算

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

由z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i，
所以|z|=

(a+cosθ)2+(2a-sinθ)2

=

(2acosθ-4asinθ)+5a2+1

=

2

5

a(

5

cosθ-

2

5

sinθ)+5a2+1

=

2

5

acos(θ+α)+5a2+1

（tanα=2）．
因为|z|≤2，
所以2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4．
若a=0，此式显然成立，
若a＞0，由2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2+2

5

a-3≤0，解得0＜a≤

5

．
若a＜0，由2

5

acos(θ+α)+5a2+1≤4，
得5a2-2

5

a-3≤0，解得-

5

≤a＜0．
所以对任意实数θ，满足|z|≤2的实数a的取值范围为[-

5

，

5

]．
故答案为[-

5

，

5

]．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“设复数z=（a+cosθ）+（2a-sinθ）i（i为虚数单位），若对任意实数θ，|z|..”的主要目的是检查您对于考点“高中复数的四则运算”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中复数的四则运算”。

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