发布人:繁体字网(www.fantiz5.com) 发布时间:2015-12-17 07:30:00
试题原文 |
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(Ⅰ)因为f(x)=aex为单调函数,故f(0)=1,得a=1,…(2分) 当x<0时,-x>0,则f(x)=f(-x)=3e-x 综上:f(x)=
(Ⅱ)因为任意x∈[1,m],都有f(x+t)≤ex 故f(1+t)≤e且f(m+t)≤em 当1+t≥0时,e1+t≤e,从而1+t≤1, ∴-1≤t≤0 当1+t<0时,e-(1+t)≤e,从而-(1+t)≤1, ∴-2≤t<-1 综上-2≤t≤0∵m≥2,故m+t>0 故f(m+t)≤em得:em+t≤em 即存在t∈[-2,0],满足et≤
∴
令g(x)=ex-e3x,x∈[2,+∞),则g′(x)=ex-e3 当x∈(2,3)时,g'(x)<0,g(x)单调递减 当x∈(3,+∞)时,g'(x)>0,g(x)单调递增 又g(3)=-2e3<0,g(2)=-e3<0,g(4)=e3(e-4)<0,g(5)=e3(e2-4)>0 由此可见,方程g(x)=0在区间[2,+∞)上有唯一解m0∈(4,5), 且当x∈[2,m0]时g(x)≤0,当x∈[m0,+∞)时g(x)≥0 ∵m∈Z,故mmax=4,此时t=-2.…(12分) 下面证明:f(x-2)=e|x-2|≤ex对任意x∈[1,4]恒成立 ①当x∈[1,2]时,即e2-x≤ex,等价于e≤xex ∵x∈[1,2], ∴ex≥e,x≥1,xex≥e ②当x∈[2,4]时,即ex-2≤ex,等价于{ex-3-x}max≤0 令h(x)=ex-3-x,则h'(x)=ex-3-1 ∴h(x)在(2,3)上递减,在(3,4)上递增 ∴hmax=max{h(2),h(4)} 而h(2)=
综上所述,f(x-2)≤ex对任意x∈[1,4]恒成立.…(15分) |
经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后,可以看出该题目“已知定义在R上的偶函数f(x)的最小值为1,当x∈[0,+∞)时,f(x)=ae..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数解析式的求解及其常用方法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看:“高中函数解析式的求解及其常用方法”。