如图，过点（0，a3）的两直线与抛物线y=-ax2相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线y=-8，垂足分别为D、C．（1）若a=1，求矩形ABCD面积；（2）若a∈（0，2），求矩形ABCD面积的最大值．-数学试题及答案

1、试题题目：如图，过点（0，a3）的两直线与抛物线y=-ax2相切于A、B两点，AD、B..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-13 07:30:00

试题原文

如图，过点（0，a³）的两直线与抛物线y=-ax²相切于A、B两点，AD、BC垂直于直线y=-8，垂足分别为D、C．
（1）若a=1，求矩形ABCD面积；
（2）若a∈（0，2），求矩形ABCD面积的最大值．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的极值与导数的关系

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）设切点为（x₀，y₀），则y0=-ax02，
因为y'=-2ax，所以切线方程为y-y₀=-2ax₀（x-x₀），即y+ax02=-2ax0(x-x0)，
因为切线过点（0，a³），所以a3+ax02=-2ax0(0-x0)，即a3=ax02，于是x₀=±a．
将x₀=±a代入y0=-ax02得y0=-a3．
所以AB=2a，BC=8-a³，所以矩形ABCD面积为S=16a-2a⁴，
当a=1时，矩形ABCD的面积S=16×1-2×1⁴=14；
（2）由（1）得：矩形ABCD面积为S=16a-2a⁴（0＜a＜2），
则S'=16-8a³=8（2-a³）．
所以当0＜a＜

3	2

时，S'＞0；当

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＜a＜2时，S'＜0；
故当a=

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时，S有最大值为S=16×

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-2×(

3	2

)4=12

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．

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“如图，过点（0，a3）的两直线与抛物线y=-ax2相切于A、B两点，AD、B..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的极值与导数的关系”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的极值与导数的关系”。

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