已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，都有f（x1·x2）=f（x1）+f（x2），且当x>1时，f（x）>0，f（2）=1。（1）求证：f（x）是偶函数；（2）求证：f（x）在（0，-数学试题及答案

1、试题题目：已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-12-09 07:30:00

试题原文

已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x₁，x₂，都有f （x₁·x₂）=f（x₁）+f（x₂），且当x>1时，f（x）>0，f（2）=1。
（1）求证：f（x）是偶函数；
（2）求证：f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）解不等式：f（2x²-1）<2。

试题来源：同步题试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：函数的奇偶性、周期性

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

解：（1）因对定义域内的任意x₁，x₂都有 f（x₁·x₂）=f（x₁）+f（x₂），
令x₁=x，x₂=-1，则有 f（-x）=f（x）+f（-1）
又令x₁=x₂=-1，得2f（-1）=f（1）
再令x₁=x₂=1，得f（1）=0，从而f（-1）=0，
于是有f（-x）=f（x）
∴f（x）是偶函数；
（2）设0<x₁<x₂，则f（x₁）-f（x₂）=f（x₁）-

由于0<x₁<x₂∴

从而

故f（x₁）-f（x₂）<0，即f（x₁）<f（x₂）
∴f（x）在（0，+∞）上是增函数；
（3）由于f（2）=1，
所以2=1+1=f（2）+f（2）=f（4），
于是待解不等式可化为f（2x²-1）<f（4）
结合（1），（2）已证结论，得上式等价于|2x²-1|<4
解得

。

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“已知函数f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠0}对定义域内的任意x1，x2，..”的主要目的是检查您对于考点“高中函数的奇偶性、周期性”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中函数的奇偶性、周期性”。

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