定义非零向量OM=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量OM=(a，b)称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集-数学试题及答案

1、试题题目：定义非零向量OM=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向..

发布人：繁体字网（www.fantiz5.com）发布时间：2015-11-09 07:30:00

试题原文

定义非零向量

OM

=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向量

OM

=(a，b)称为函数f（x）=asinx+bcosx的“相伴向量”（其中O为坐标原点）．记平面内所有向量的“相伴函数”构成的集合为S．
（1）设h（x）=cos（x+

π

6

）-2cos（x+a）（a∈R），求证：h（x）∈S；
（2）求（1）中函数h（x）的“相伴向量”模的取值范围；
（3）已知点M（a，b）（b≠0）满足：(a-

3

)2+(b-1)2=1上一点，向量

OM

的“相伴函数”f（x）在x=x₀处取得最大值．当点M运动时，求tan2x₀的取值范围．

试题来源：不详试题题型：解答题试题难度：中档适用学段：高中考察重点：两角和与差的三角函数及三角恒等变换

2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：

（1）∵h（x）=cos（x+

π

6

）-2cos（x+a）=（2sina-

1

2

）sinx+（

3

2

-2cosa）cosx
∴函数h（x）的相伴向量

OM

=（2sina-

1

2

，

3

2

-2cosa），
∴h（x）∈S…（4分）
（2）∵|

OM

|=

(2sina-

1

2

)2+(

3

2

-2cosa)2

=

5-2sina-2

3

cosa

=

5-4sin(a+

π

3

)

∴|

OM

|_max=

5+4

=3，|

OM

|_min=

5-4

=1
∴|

OM

|的取值范围为[1，3]…（10分）
（3）

OM

的相伴函数f（x）=asinx+bcosx=

a2+b2

sin（x+φ），
其中cosφ=

a

a2+b2

，sinφ=

b

a2+b2

当x+φ=2kπ+

π

2

，k∈Z即x₀=2kπ+

π

2

-φ，k∈Z时f（x）取得最大值，
∴tanx₀=tan（2kπ+

π

2

-φ）=cotφ=

a

b

，
∴tan2x₀=

2tanx0

1-tan2x0

=

2×

a

b

1-(

a

b

)2

=

2

b

a

-

a

b

．
∵

b

a

为直线OM率，由几何意义知

b

a

∈（0，

3

]
令m=

b

a

，tan2x₀=

2

m-

1

m

，m∈（0，

3

]
∵m∈（0，

3

]，故

1

m

≥

3

，-

1

m

≤-

3

，
∴m-

1

m

∈（-∞，

2

3

]，
∴tan2x0∈(-∞，0)∪[

3

，+∞)…（18分）

3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：

经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“定义非零向量OM=(a，b)的“相伴函数”为f（x）=asinx+bcosx（x∈R），向..”的主要目的是检查您对于考点“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“高中两角和与差的三角函数及三角恒等变换”。

4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：